Родился в китайском городе Дальний (сейчас Далянь). Отец — японский инженер Мацудо Тадаси, мать — русская переводчица Леонтьева Вера.
После окончания Второй мировой войны отец был отправлен в концлагерь, а мать с двумя детьми сослана в Казахскую ССР.
В 1954 году семья переехала в Караганду, там и начал заниматься борьбой у Харисова.
В 1960 году переезжает во Владивосток, где начал работать в Дальневосточном морском пароходстве, вырос от матроса до капитана.
Затем Юрий Алексеевич организовал и возглавил первый в СССР специализированный флот по предотвращению загрязнения моря от нефти, став лауреатом Выставки достижений народного хозяйства СССР.
Еще будучи капитаном дальневосточного морского пароходства, на общественных началах организовывал на судах спортивные
секции по различным видам спорта, в том числе и по борьбе. С 1965 года Леонтьев вел занятия в секции борьбы при Тихоокеанском бассейновом совете ДСО «Водник».
В январе 1981 года в Лучегорске под руководством Ю.А. Леонтьева и А. Иванова группа старшеклассников переоборудовала одно из неприспособленных помещений угольного разреза «Лучегорский» в спортзал для занятий спортом.
17 ноября 1981 года при профкоме разреза «Лучегорский» под руководством Леонтьева Ю.А. официально открывается детско-юношеская спортивная школа по самбо «Самбо-81», руководителем которой он становится.
В 1990 году открывает СШ — «Амазонка» во Владивостоке.
В 1992 году он стал главой Краевой женской федерации борьбы.
Был у истоков создания Международной Азиатской федерации самбо, входил в члены президиума (1992-2000) и являлся ответственным за развитие самбо среди женщин в Азии.
Главный тренер Центра спортивной подготовки женских единоборств «Амазонки».
Президент Морского экологического фонда при администрации Приморского края.
Президент Регионального многоотраслевого производственно-экологического предприятия «Эко-море».
Любит готовить, фирменное блюдо — солянка «Амазонка».
Почетный житель Приморского края.
Заслуженный работник физической культуры Российской Федерации (1999).
Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2009).
