После революции 1917 года родные Андрея были репрессированы, а семью сослали на Урал.
В 14 лет Андрей Будзинский остался сиротой.
В 1932 году Андрей перебрался в Москву.
Близкая родственница в Москве — актриса Камерного театра Августа Миклашевская.
Один из родственников Андрея — Владимир Будзинский, русский врач, стоял у истоков формирования курорта Анапа.
В 1935 году начал заниматься в секции борьбы вольного стиля (самбо), у Ощепкова. В 1935 году Ощепков передал руководство секцией своему аспиранту по кафедре борьбы в ГЦОЛИФК Анатолию Харлампиеву.
В 1960-е вел секцию самбо в МАТИ.
В 1960-70-е вел секцию самбо в МФТИ.
В г. Долгопрудном в 60-х годах на спортивной базе МФТИ организовалась секция борьбы Самбо. У истоков ее создания стояли известные борцы самбисты :Чемпион СССР 1939 г. и 1940 Будзинский А. и чемпион СССР 1960 г. Карелин В.И.
20 декабря 1960 года в одной из первых передач телевидения Советского Союза впервые прозвучало имя нашего земляка В.С. Ощепкова. Популярная передача называлась «Знакомьтесь самбо» и вёл её легендарный уже тогда диктор ТВ СССР Виктор Иванович Балашов (Народный артист РФ, ветеран войны, мастер спорта СССР по самбо,Ученик Харлампиева). Представлять наш отечественный вид спорта пригласили Будзинского Андрея – авторитетного историка самбо, а также выдающегося спортсмена.
Последние годы жизни работал председателем Совета ветеранов самбо.
